问题
解答题
已知R上的函数f（x）=
（1）证明：0≤
（2）若f（x）在区间（s，t）上为增函数，证明：1≥t＞s＞-2且t-s＜3； （3）对任意满足以上条件的a，b，c，若不等式f′（x）+a＜0对任意x≥k恒成立，求k的取值范围． |
答案
（1）证明：求导函数，可得f′（x）=ax2+bx+c，
∵函数在x=1时取得极值，
∴a+b+c=0，
∵函数在x=1时取得极值，
∵a＜b＜c，
∴a＜b＜-（a+b），
∴-
＜1 2
＜1b a
∵切线斜率为-a，则关于x的方程f′（x）=-a有根，
即ax2+bx-b=0有根，
∴b2+4ab=b（4a+b）≥0
∴
≤-4或b a
≥0b a
∵-
＜1 2
＜1b a
∴0≤
＜1；b a
（2）证明：方程f′（x）=ax2+bx-（a+b）=0
∴b2+4a（a+b）＞0
∵f′（1）=0
∴方程f′（x）=ax2+bx-（a+b）=0的两根为1和-
-1b a
当且仅当-
-1＜x＜1时，f′（x）＞0b a
∴f（x）在[-
-1，1]上为增函数，b a
∴1≥t＞s≥-
-1＞-2且0＜t-s≤b a
+2＜3；b a
（3）若f′（x）+a=ax2+bx-b=a（x2+
x-b a
）＜0对a、b恒成立，b a
设t=
∈[0，1），则g（t）=（x-1）t+x2＞0对t∈[0，1）恒成立，b a
即g（1）≥0，g（0）＞0恒成立
解得x≤
或x≥-1- 5 2
，-1+ 5 2
∴k≥
．-1+ 5 2