（1）易知f（x）定义域（-1，+∞）f/(x)=mx-2+

1

x+1

，f/(0)=-1，∴k₂=-1∴切线L：y=-x+1

∵切线L与C有且只有一个公共点，∴

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一个实数解，显然x=0时成立．

令g(x)=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，则g/(x)=mx-1+

1

x+1

=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

①当m=1时，g′（x）≥0，函数在（-1，+∞）上单调增，x=0是方程唯一实数解；

②当m＞1时由g′（x）=0得x1=0，x2=

1

m

-1∈(-1，0），从而有x=x₂是极大值点且g（x₂）＞g（0）=0，又当x→-1时，g（x）→-∝因此g（x）=0在（-1，x₂）内也有一解，矛盾

综上知，m=1．

（2）∵f/(x)=

mx2+(m-2)x-1

x+1

(x＞-1)∴f′（x）＜0⇔mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1）

令h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1），∴h（x）=0在（-1，+∞）有两个不等实数解a，b，即h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1）得解集为（a，b），故存在单调减区间[a，b]，

则t=b-a=

1+ 4 m2

，

∵m≥1，∴1＜

1+ 4 m2

≤

5

，

∴t∈(1，

5

]