设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.
定义域{x|x>0}
f′(x)=
1 |
x |
2a(1-a)x2-2(1-a)x+1 |
x |
设g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,x∈(0,+∞)
①若a=1,则g(x)=1>0
∴在(0,+∞)上有f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
②若a>1则2a(1-a)<0,g(x)的图象开口向下,
此时△=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a)>0
方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x1=
2(1-a)+
| ||
4a(1-a) |
2(1-a)-
| ||
4a(1-a) |
且x1<0<x2
∴在(0,
2(1-a)-
| ||
4a(1-a) |
即f'(x)>0,f(x)是增函数;
在(
2(1-a)-
| ||
4a(1-a) |
即f'(x)<0,f(x)是减函数;
③若0<a<1则2a(1-a)>0,g(x)的图象开口向上,
此时△=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a)
可知当
1 |
3 |
即f'(x)≥0,f(x)是增函数;
当0<a<
1 |
3 |
不等的实根满足
2(1-a)+
| ||
4a(1-a) |
2(1-a)-
| ||
4a(1-a) |
故在(0,
2(1-a)-
| ||
4a(1-a) |
2(1-a)+
| ||
4a(1-a) |
即f'(x)>0,f(x)是增函数;
在(
2(1-a)-
| ||
4a(1-a) |
2(1-a)+
| ||
4a(1-a) |
即f'(x)<0,f(x)是减函数.