已知函数f（x）=（x2-a）ex（e为自然对数的底数），g（x）=f（x）-b

问题解答题

已知函数f（x）=（x²-a）e^x（e为自然对数的底数），g（x）=f（x）-b，其中曲线f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为-3．

（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设方程g（x）=0有且仅有一个实根，求实数b的取值范围．

答案

（1）f′（x）=（x²+2x-a）e^x

∴f′（0）=-ae⁰=-a由题意知f′（0）=-3

解得a=3

于是f′（x）=（x+3）（x-1）e^x 　　　　

当x＜-3或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；

当-3＜x＜1时f′（x）＜0，f（x）是减函数；

所以f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（1，+∞），单调减区间是（-3，1）．

（2）由（1）知，当x=-3时，f（x）有极大值，为f(-3)=(9-3)e-3=

；

当x=时，f（x）有极小值，为f（1）=（1-3）e=-2e．

又e^x＞0当x＜-

或x＞

时，f（x）＞0

因为方程g（x）=0有且仅有一个实根，所以b＞

或b=-2e．

所以实数b的取值范围是{b|b＞

或b=-2e}．