由f（x）在x=a处取得极大值可知，当x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，

即存在x∈（b，a），使得a（x+1）（x-a）＞0，且存在x∈（a，c），使得a（x+1）（x-a）＜0

若a＞0时，a（x+1）（x-a）＞0的解集为（a，+∞）或者（-∞，-1），故不合题意

若a＜0时，故有（x+1）（x-a）＜0，

当a＞-1，其解集为（-1，a），此时b=-1，且（x+1）（x-a）＞0，其解集为（a，+∞）或者（-∞，-1），此时c∈R，故-1＜a＜0符合题意

若a＜-1，显然不合题意，

综上讨论知，符合条件的a的取值范围是（-1，0）

故应选A．