（Ⅰ）∵f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，

∴f'（x）=1+acosx≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立．（2分）

令t=cosx，则1+at≥0对t∈[-1，1]恒成立，

∴

1+a•(-1)≥0 1+a•1≥0

，解得-1≤a≤1，

∴实数a的取值范围是[-1，1]．（6分）

（Ⅱ）当a＞0时，g(x)=

f(x)

x

=1+

asinx

x

，∴g′(x)=

a(xcosx-sinx)

x2

，（8分）

记h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），则h'（x）=-xsinx＜0对x∈（0，π）恒成立，

∴h（x）在x∈（0，π）上是减函数，∴h（x）＜h（0）=0，即g'（x）＜0，

∴当a＞0时，g(x)=

f(x)

x

在（0，π）上是减函数，得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上为减函数．（11分）

∴当x=

π

6

时，g（x）取得最大值1+

3a

π

；当x=

5π

6

时，g（x）取得最小值1+

3a

5π

．（13分）