（1）当a=-1时，f（x）=-lnx+

1

2

x²+1．

则f′（x）=-

1

x

+x． 

令f′（x）＞0，得-

1

x

+x＞0，即

x2-1

x

＞0，解得：x＜0或x＞1．

因为函数的定义域为{x|x＞0}，

所以函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）．

（2）由函数f(x)=alnx+

1

2

x2+(a+1)x+1．

因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，

所以f′（x）=

a

x

+x+a+1=

x2+(a+1)x+a

x

=

(x+1)(x+a)

x

≥0对x∈（0，+∞）恒成立． 

即x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立．

所以a≥0． 

即实数a的取值范围是[0，+∞）．

（3）因为a＞0，由（2）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

因为x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，不妨设x₁＞x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）．

由|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|恒成立，可得f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂），

即f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂恒成立．

令g（x）=f（x）-2x=alnx+

1

2

x2+(a+1)x+1-2x，则g（x）在（0，+∞）上应是增函数．  

所以g′（x）=

a

x

+x+（a+1）-2=

x2+(a-1)x+a

x

≥0对x∈（0，+∞）恒成立．

即x²+（a-1）x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立．

即a≥-

x2-x

x+1

对x∈（0，+∞）恒成立

因为-

x2-x

x+1

=-（x+1+

2

x+1

-3）≤3-2

2

（当且仅当x+1=

2

x+1

即x=

2

-1时取等号），

所以a≥3-2

2

．

所以实数a的最小值为3-2

2

．