问题
解答题
已知函数f(x)=ln(ax+1)+
（Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=
，ax2+a-2 (ax+1)(1+x)2
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得x＞
，由f'（x）＜0解得x＜2-a a
，2-a a
∴f（x）的单调减区间为(0，
)，单调增区间为(2-a a
，+∞)．2-a a
（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在x=
处取得最小值f(2-a a
)＜f（0）=1，2-a a
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．