问题
解答题
设函数f（x）=px-
（1）求p与q的关系； （2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （3）设g(x)=
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答案
（1）∵f（e）=pe-
-2，q e
∴（p-q）e=
，∴p-q=0，q-p e
∴p=q；
（2）f′（x）=p+
-p x2
≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，2 x
⇒p≥
•2 x
=x2 x2+1
=2x x2+1
或p≤2 x+ 1 x
⇒p≥1或p≤0；2 x+ 1 x
（3）∵g(x)=
在[1，e]上是减函数2e x
∴x=e时，g（x）min=2；
x=1时，g（x）max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0时，由（2）知f（x）在[1，e]递减⇒fmax（x）=f（1）=0＜2，不合题意
②0＜p＜1时，由x∈[1，e]⇒x-
∈[0，e-1 x
]1 e
∴f(x)=p(x-
)-2lnx＜x-1 x
-2lnx＜e-1 x
-2lne=e-1 e
-2＜2，不合题意1 e
③p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，故只需f（x）max＞g（x）min=2，
x∈[1，e]而f(x)max=f(e)=p(e-
)-2lne，g(x)min=21 e
由
，解得p＞p(e-
)-2lne＞21 e p≥1
，故p的取值范围是(4e e2-1
，+∞)．4e e2-1