（1）∵函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切，

∴方程x+b=x²+bx+c只有一个根，即x²+（b-1）x+c-b=0，

∴△=（b-1）²-4×（c-b），

∴（b+1）²=4c，b＞-1，c＞0，

∴b+1＞0，∴b=2

c

-1，

∴b=φ（c）=2

c

-1；

（2）依题意设D（x）=

x2+bx+c

x+b

=x+

c

x+b

，

∴D′（x）=1-

c

(x+b)2

=（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）

∵D（x）在[-1，+∞）上是增函数，

∴（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）≥0在[-1，+∞）上恒成立，

又x＞-b，c＞0，

∴上式等价于1-

c

x+b

≥0在[-1，+∞）上恒成立，

即

c

≤x+b，而由（Ⅰ）可知

c

≤x+2

c

-1，

∴

c

≥1-x，

又函数1-x在[-1，+∞）上的最大值为2，

∴

c

≥2，解得c≥4，即c的最小值为4．

（3）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc

可得H′（x）=3x²+4bx+（b²+c）

令3x²+4bx+（b²+c）=0，依题意设欲使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，

则需满足△=4（b²-3c）=4（c-4

c

+1）＞0，

亦即c-4

c

+1＞0，解得

c

＜2-

3

或

c

＞2+

3

，

又c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

，

故存在常数c∈（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞），使得函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点．