（Ⅰ）当a=1，b=0时，f（x）=x³-3x²，

所以f（1）=-2，即切点为P（1，-2）．

因为f′（x）=3x²-6x，

所以f′（1）=3-6=-3，

所以切线方程为y+2=-3（x-1），

即y=-3x+1．

（Ⅱ）y=f（x）在[-1，1]上单调递增，

又f′（x）=3x²-6ax+3

=3（x²-2ax+1）．

依题意f′（x）在[-1，1]上恒有f′（x）≥0，即x²-2ax+1≥0．

①当x=a＞1时，f′(x)min=f′(1)=2-2a≥0，

∴a≤1，所以舍去；

②当x=a＜-1时，f′（x）_min=f′（-1）=1+2a+1≥0，∴a≥-1，舍去；

③当-1≤a≤1时，f′（x）_min=f′（a）=-a²+1≥0，

则-1≤a≤1，

综上所述，参数a的取值范围是-1≤a≤1．

（Ⅲ）f′（x）=3x²-6ax+3b²，由于0＜a＜b，

所以△=36a²-36b²=36（a+b）（a-b）＜0，

所以函数f（x）在R上递增．

从而不等式f（

1+lnx

x-1

）＞f（

k

x

），

∴

1+lnx

x-1

＞

k

x

，

∴

(1+lnx)x

x-1

＞k对x∈（1，+∞）恒成立，

构造h（x）=

(1+lnx)x

x-1

，

h′(x)=

(2+lnx)(x-1)-(x+xlnx)

(x-1)2

=

x-lnx-2

(x-1)2

，

构造g（x）=x-lnx-2，g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．

对x∈（1，+∞），g′(x)=

x-1

x

＞0，

所以g（x）=x-lnx-2在x∈（1，+∞）递增．

g（1）=-1，g（2）=-ln2，g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0．

所以∃x₀∈（3，4），g（x₀）=x₀-lnx₀-2=0．

所以x∈（1，x₀），g（x）＜0，h′（x）＜0，

所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1

在（1，x₀）递减，

x∈（x₀，+∞），g（x）＞0，h′（x）＞0，

所以h（x）=

(1+lnx)x

x-1

在（x₀，+∞）递增，

所以，h（x）_min=h（x₀）=

(1+lnx0)x0

x0-1

，

结合g（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，

得到h（x）_min=h（x₀）=

(1+lnx0)x0

x0-1

=x₀∈（3，4），

所以k＜

(1+lnx)x

x-1

对x∈（1，+∞）恒成立，

∴k＜h（x）_min，

所以k≤3，整数k的最大值为3．