问题
解答题
已知函数f(x)=px-
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围． |
答案
（1）当p=2时，函数f(x)=2x-
-2lnx，2 x
f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+
-2 x2
，2 x
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．
（2）f′(x)=p+
-p x2
=2 x
．px2-2x+p x2
令h（x）=px2-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=
∈(0，+∞)，1 p
∴h(x)min=p-
，只需p-1 p
≥0，1 p
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．