问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a＞0）在x=x1和x=x2处取得极值． （Ⅰ）若c=-a2，且|x1-x2|=2，求b的最大值； （Ⅱ）设g（x）=f′（x）+x，若0＜x1＜x2＜
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答案
（Ⅰ）∵c=-a2，∴f′（x）=3ax2+2bx-a2，
∵x1、x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，a＞0，
∴x1+x2=-
，x1x2=-2b 3a
；a 3
∵|x1-x2|=2，
∴(x1+x2) 2-4x1x2=4，即(-
)2-4（-2b 3a
）=4，整理得b2=3a2（3-a），a 3
∵b2≥0，
∴0＜a≤3；
设h（a）=-3a3+9a2，则h′（a）=-9a2+18a；
由h′（a）＞0，得0＜a＜2；由h′（a）＜0，得a＞2．
∴h（a）=-3a3+9a2在区间（0，2）上是增函数，在区间（2，3）上是减函数，
∴当a=2时，h（a）有极大值12，
∴h（a）在（0，3]上的最大值是12，从而b的最大值是2
…3分3
（Ⅱ）由g（x）=f′（x）+x，得f′（x）=g（x）-x，
∵x1、x2是方程f′（x）=0的两根，
∴f′（x）=g（x）-x=3a（x-x1）（x-x2），
当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，故（x-x1）（x-x2）＞0，
又a＞0，故g（x）-x=3a（x-x1）（x-x2）＞0，即g（x）＞x；…7分
又x1-g（x）=x1-[x+f′（x）]=x1-x-3a（x-x1）（x-x2）=（x1-x）[1+3a（x-x2）]，
∵0＜x＜x1＜x2＜
，1 3a
∴x1-x＞0，[1+3a（x-x2）]=1+3ax-3ax2＞1-3ax2＞0，
∴g（x）＜x1；…10分
综上所述：x＜g（x）＜x1．