先求出函数为递增时b的范围

∵已知y=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3

∴y′=x²+2bx+b+2，

∵f（x）是R上的单调增函数，

∴x²+2bx+b+2≥0恒成立，

∴△≤0，即b2-b-2≤0，

则b的取值是-1≤b≤2．

∴y=

1

3

x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是单调增函数，

实数b取值范围是b＜-1或b＞2

故选A