问题
解答题
设函数f（x）=x2-2acos[（k-1）π]lnx （k∈N*，a∈R）．
（1）若k=2011，a=1，求函数f（x）的最小值；
（2）若k是偶数，求函数f（x）的单调区间．
答案
（1）因为k=2011，a=1，所以f（x）=x2-2lnx，f′（x）=
(x＞0)，2(x2-1) x
由f′（x）＞0得x=1，且当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是减函数．
故f（x）min=f（1）=1．（5分）
（2）当k是偶数时，f（x）=x2-2alnx，f′（x）=
(x＞0)，2(x2+a) x
所以当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；（9分）
当a＜0时，由f′（x）=0得x=
，且当x＞-a
时，f′（x）＞0，当x＜-a
时，f′（x）＜0，-a
所以f（x）在（0，
）上是减函数，f（x）在（-a
，+∞）上是增函数．（13分）-a
综上可得当a＞0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的减区间为（0，
），增区间为（-a
，+∞）．（14分）-a