（I）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=

a

x

-

2a2

x2

+1（x＞0）

根据题意，有f′（1）=-2，所以2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

．

（II）f′(x)=

(x-a)(x+2a)

x2

(x＞0)

（1）当a＞0时，因为x＞0，

由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；

由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．

所以函数f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减；

（2）当a＜0时，因为x＞0，

由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞-2a；

由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜-2a．

所以函数f（x）在（-2a，+∞）上单调递增，在（0，-2a）上单调递减；

（III）证明：由（Ⅱ）知，当a∈（-∞，0）时，函数f（x）的最小值为g（a），且g（a）=f（-2a）=aln（-2a）-3a，

∴g′（a）=ln（-2a）-2，

令g′（a）=0，得a=-

1

2

e2．

当a变化时，g′（a），g（a）的变化情况如下表：

a	（-∞，- 1 2 e2）	- 1 2 e2	（- 1 2 e2，0）
g′（a）	+	0	-
g（a）		极大值

∴-

1

2

e2是g（a）在（-∞，0）上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g（a）的最大值点．

所以g（a）_max=g（-

1

2

e2）=

1

2

e2．

所以，当a∈（-∞，0）时，g（a）≤

1

2

e2成立．