f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）…（2分）

（1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a=

1

x

在（1，+∞）上有解，

又∵当x∈（1，+∞）时，

1

x

＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是（0，1）…（6分）

（2）①当a≥

1

e

时，因为f′（x）＞0在（e，e²）上恒成立，这时f（x）在[e，e²]上为增函数，

所以当x=e时，f（x）_min=f（e）=1+

1-e

ae

 …（8分）

②当0＜a≤

1

e2

时，因为f′（x）＜0在（e，e²）上恒成立，这时f（x）在[e，e²]上为减函数，

所以，当x=e²时，f（x）_min=f（e²）=2+

1-e2

ae2

，…（10分）

③当

1

e2

＜a＜

1

e

时，令f′（x）=0得，x=

1

a

∈（e，e²），

又因为对于x∈（e，

1

a

）有f′（x）＜0，

对于x∈（

1

a

，e²）有f′（x）＞0，

所以当x=

1

a

时，f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

…（14分）

综上，f（x）在[e，e²]上的最小值为

f（x）_min=

1+ 1-e ae ，当a≥ 1 e 时 ln 1 a +1- 1 a ，当 1 e2 ＜a＜ 1 e 时 2+ 1-e2 ae2 ，当0＜a＜ 1 e2 时

…（16分）