问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值． |
答案
（1）定义域为（0，+∞），f′(x)=
，令f′(x)=1-lnx x2
=0，则x=e，1-lnx x2
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
∴f（x）的单调增区间为（0，e）；单调减区间为（e，+∞）．
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，
当4a≤e时，即0＜a≤
时，f（x）在[2a，4a]上单调递增，e 4
∴f（x）min=f（2a）=
；ln(2a) 2a
当2a≥e时，即a≥
f（x）在[2a，4a]上单调递减，∴f（x）min=f（4a）=e 2 ln(4a) 4a
当2a＜e＜4a时，即
＜a＜e 4
时，f（x）在[2a，e]上单调递增，f（x）在[e，4a]上单调递减，e 2
∴f（x）min=min{f（2a），f（4a）}．下面比较f（2a），f（4a）的大小，
∵f(2a)-f(4a)=
，lna 4a
∴若
＜a≤1，则f（a）-f（2a）≤0，此时f(x)min=f(2a)=e 4
；ln2a 2a
若1＜a＜
，则f（a）-f（2a）＞0，此时f(x)min=f(4a)=e 2
；ln4a 4a
综上得：当0＜a≤1时，f(x)min=f(2a)=
；ln2a 2a
当a＞1时，f(x)min=f(4a)=
．ln4a 4a