（1）因为e^x＞0，所以不等式f（x）＞0即为ax²+x＞0，

又因为a＜0，所以不等式可化为x（x+

1

a

）＜0，

所以不等式f（x）＞0的解集为（0，-

1

a

）．

（2）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解

所以原方程等价于ex-

2

x

-1=0，令h（x）=ex-

2

x

-1，

因为h′（x）=ex+

2

x2

＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，

所以h（x）在（0，+∞）内是单调增函数，

又h（1）=e-3，h（2）=e²-2＞0，

所以方程f（x）=x+2有且只有1个实数根，在区间[1，2]，

所以正整数k的值为 1．

（3）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，

①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；

②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，

所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，

因此f（x）有极大值又有极小值．

若a＞0，因为g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，

故f（x）在[-1，1]上不单调．

若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，

因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，因为g（0）=1＞0，

必须满足

g(1)≥0 g(-1)≥0

即

3a+2≥0 -a≥0

，所以-

2

3

≤a＜0．

综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]．