问题
解答题
（1）已知k、n∈N*，且k≤n，求证：k
（2）设数列a0，a1，a2，…满足a0≠a1，ai-1+ai+1=2ai（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，p(x)=a0
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答案
证明：（1）左边=k
=k•C kn
=n! k!(n-k)!
，n! (k-1)!(n-k)!
右边=n•
=(n-1)! (k-1)!(n-k)!
，n! (k-1)!(n-k)!
所以k
=nC kn
；C k-1n-1
（2）由题意得数列a0，a1，a2，…为等差数列，且公差为a1-a0≠0．
则p(x)=a0
(1-x)n+a1C 0n
x(1-x)n-1+a2C 1n
x2(1-x)n-2+…+anC 2n
xn=a0C nn
(1-x)n+[a0+(a1-a0)]C 0n
x(1-x)n-1+…+[a0+n(a1-a0)]C 1n
xn=a0[C nn
(1-x)n+C 0n
x(1-x)n-1+…+C 1n
xn]+(a1-a0)[C nn
x(1-x)n-1+2C 1n
x2(1-x)n-2+…+nC 2n
xn]=a0[(1-x)+x]n+(a1-a0)nx[C nn
(1-x)n-1+C 0n-1
x(1-x)n-2+…+C 1n-1
xn-1]=a0+(a1-a0)nx[x+(1-x)]n-1=a0+（a1-a0）nx，C n-1n-1
所以对任意的正整数n，p（x）是关于x的一次式．