问题
解答题
已知曲线C1：y=
（1）求证：直线l与曲线C1，C2都相切，且切于同一点； （2）设直线x=t（t＞0）与曲线C1，C2及直线l分别相交于M，N，P，记f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e-3，e3]上的最大值； （3）设直线x=em（m=0，1，2，3┅┅）与曲线C1和C2的交点分别为Am和Bm，问是否存在正整数n，使得A0B0=AnBn？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． （本小题参考数据e≈2.7）． |
答案
（1）证明：y=
+ey′=x2 e
由y′=2x e
=2得x=e（2分）2x e
在C1上点（e，2e）处的切线为y-2e=2（x-e），即y=2x（3分）
又在C2上点（e，2e）处切线可计算得y-2e=2（x-e），即y=2x
∴直线l与C1、C2都相切，且切于同一点（e，2e）（4分）
（2）f(t)=
+e-2t-(2t-2elnt)=t2 e
+2elnt-4t+ef′(t)=t2 e
+2e2t e
-4=1 t
=2t2+2e2-4et et
≥0（6分）2(t-e)2 et
∴f（t）在[e-3，e3]上递增
∴当t=e3时f(t)max=
+2elne3-4e3+e=e5-4e3+7e（8分）e6 e
（3）AnBn=
+e-2elnen=(en)2 e
+e-2ne(e2)n e
设上式为g（n），假设n取正实数，则g′(n)=
•lne2-2e=(e2)n e 2(e2n-e2) e
当n∈（0，1）时，g′（n）＜0，∴g（n）递减；
当n∈（1，+∞），g′（n）＞0，∴g（n）递增．（12分）
g(0)=A0B0=e+
g（1）=2e-2e=0g(2)=e3+e-4e=e3-3e≈2.72e-3e＞2e＞e+1 e 1 e
∴不存在正整数n，使得g（m）=g（0）
即AnBn=A0B0．（14分）