问题 解答题
已知曲线C1y=
x2
e
+e
(e为自然对数的底数),曲线C2:y=2elnx和直线l:y=2x.
(1)求证:直线l与曲线C1,C2都相切,且切于同一点;
(2)设直线x=t(t>0)与曲线C1,C2及直线l分别相交于M,N,P,记f(t)=|PM|-|NP|,求f(t)在[e-3,e3]上的最大值;
(3)设直线x=em(m=0,1,2,3┅┅)与曲线C1和C2的交点分别为Am和Bm,问是否存在正整数n,使得A0B0=AnBn?若存在,求出n;若不存在,请说明理由. (本小题参考数据e≈2.7).
答案

(1)证明:y=

x2
e
+ey′=
2x
e
y′=
2x
e
=2
得x=e(2分)

在C1上点(e,2e)处的切线为y-2e=2(x-e),即y=2x(3分)

又在C2上点(e,2e)处切线可计算得y-2e=2(x-e),即y=2x

∴直线l与C1、C2都相切,且切于同一点(e,2e)(4分)

(2)f(t)=

t2
e
+e-2t-(2t-2elnt)=
t2
e
+2elnt-4t+ef′(t)=
2t
e
+2e
1
t
-4=
2t2+2e2-4et
et
=
2(t-e)2
et
≥0
(6分)

∴f(t)在[e-3,e3]上递增

∴当t=e3f(t)max=

e6
e
+2elne3-4e3+e=e5-4e3+7e(8分)

(3)AnBn=

(en)2
e
+e-2elnen=
(e2)n
e
+e-2ne

设上式为g(n),假设n取正实数,则g′(n)=

(e2)n
e
lne2-2e=
2(e2n-e2)
e

当n∈(0,1)时,g′(n)<0,∴g(n)递减;

当n∈(1,+∞),g′(n)>0,∴g(n)递增.(12分)

g(0)=A0B0=e+

1
e
g(1)=2e-2e=0g(2)=e3+e-4e=e3-3e≈2.72e-3e>2e>e+
1
e

∴不存在正整数n,使得g(m)=g(0)

即AnBn=A0B0.(14分)

选择题
单项选择题