问题 解答题
已知函数f(x)=
a
3
x3-
a+1
2
x2+x+b
,其中a,b∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.
答案

(Ⅰ)f'(x)=ax2-(a+1)x+1,

由导数的几何意义得f'(2)=5,于是a=3.

由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.

所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.

(Ⅱ)f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-

1
a
)(x-1),

当0<a<1时,

1
a
>1,函数f(x)在区间(-∞,1)及(
1
a
,+∞)
上为增函数;

在区间(1,

1
a
)上为减函数;

当a=1时,

1
a
=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;

当a>1时,

1
a
<1,函数f(x)在区间(- ∞,
1
a
)
及(1,+∞)上为增函数;

在区间(

1
a
,1)上为减函数.

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