（Ⅰ）f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x  （x＞0），f′（x）=x-

1

16x

+1=0，

∴x₁=

-2+ 5

4

，x₂=

-2- 5

4

（不在定义域内，舍）

∴（0，

-2+ 5

4

]单调减，[

-2+ 5

4

，+∞）单调增，

∴f（x）在x=

-2+ 5

4

时取极小值，且是唯一极值．

（Ⅱ）f′（x）=

x2-2ax+ 3 4 a2+ 1 2 a

x

（x＞0）

令g（x）=x²-2ax+a²+a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，

设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）

1⁰ 当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，

∴f（x）单调递增，满足题意；

2⁰ 当△＞0时  即a＜0或a＞2时，

（1）若x₁＜0＜x₂，则 a²+a＜0，

即-＜a＜0时，f（x）在（0，x₂）上减，（x₂，+∞）上增，

f′（x）=x+-2a，f''（x）=1-≥0，

∴f′（x） 在（0，+∞）单调增，不合题意

（2）若x₁＜x₂＜0 则

3 4 a2+ 1 2 a≥0 a＜0

，

即a≤-时f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意．

（3）若0＜x₁＜x₂则

3 4 a2+ 1 2 a＞0 a＞0

，

即a＞2时，∴f（x）在（0，x₁）单调增，（x₁，x₂）单调减，（x₂，+∞）单调增，

不合题意．综上得a≤-或0≤a≤2．

（Ⅲ） g（x）=-lnx-ax²+x，g′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．

令g′（x）=0，即2ax²-x+1=0，

当0＜a＜时，△=1-8a＞0，

所以，方程2ax²-x+1=0的两个不相等的正根x₁，x₂，设x₁＜x₂，

则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，g′（x）＜0，

当x∈（x₁，x₂）时，g′（x）＞0，

所以g（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．

g（x₁）+g（x₂）=-lnx₁-ax+x₁-lnx₂-ax+x₂

=-（lnx₁+lnx₂）-（x₁-1）-（x₂-1）+（x₁+x₂）

=-ln（x₁x₂）+（x₁+x₂）+1

=ln（2a）+…+1．

令h（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，

则当a∈（0，）时，h′（a）=-=＜0，h（a）在（0，）单调递减，

所以h（a）＞h（

1

8

）=3-2ln2，

即g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．