问题 解答题

已知函数f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R且a≠0.

(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,求实数a的值;

(2)当a>0时,求函数f(|sinx|)的最小值.

答案

由题意得:f'(x)=(ex)'•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)'

=ex(ax2-2x-2)+ex(2ax-2)=aex(x-

2
a
)(x+2);(3分)

(1)由曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,

结合导数的几何意义得f'(2)=0,

a•e2•(2-

2
a
)(2+2)=4ae2
2a-2
a
=0

解得a=1;(6分)

(2)设|sinx|=t(0≤t≤1),

则只需求当a>0时,函数y=f(t)(0≤t≤1)的最小值.

令f'(x)=0,解得x=

2
a
或x=-2,而a>0,即
2
a
>-2

从而函数f(x)在(-∞,-2)和(

2
a
,+∞)上单调递增,在(-2,
2
a
)
上单调递减.

2
a
≥1时,即0<a≤2时,函数f(x)在[0,1]上为减函数,ymin=f(1)=(a-4)e;

0<

2
a
<1,即 a>2时,函数f(x)的极小值,

即为其在区间[0,1]上的最小值,ymin=f(

2
a
)=-2e
2
a

综上可知,当0<a≤2时,函数f(|sinx|)的最小值为(a-4)e;

当a>2时,函数f(|sinx|)的最小值为-2e

2
a
.(12分)

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