问题
解答题
已知函数f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R且a≠0.
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,求实数a的值;
(2)当a>0时,求函数f(|sinx|)的最小值.
答案
由题意得:f'(x)=(ex)'•(ax2-2x-2)+ex•(ax2-2x-2)'
=ex(ax2-2x-2)+ex(2ax-2)=aex(x-
)(x+2);(3分)2 a
(1)由曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,
结合导数的几何意义得f'(2)=0,
即a•e2•(2-
)(2+2)=4ae2•2 a
=0,2a-2 a
解得a=1;(6分)
(2)设|sinx|=t(0≤t≤1),
则只需求当a>0时,函数y=f(t)(0≤t≤1)的最小值.
令f'(x)=0,解得x=
或x=-2,而a>0,即2 a
>-2.2 a
从而函数f(x)在(-∞,-2)和(
,+∞)上单调递增,在(-2,2 a
)上单调递减.2 a
当
≥1时,即0<a≤2时,函数f(x)在[0,1]上为减函数,ymin=f(1)=(a-4)e;2 a
当0<
<1,即 a>2时,函数f(x)的极小值,2 a
即为其在区间[0,1]上的最小值,ymin=f(
)=-2e2 a
.2 a
综上可知,当0<a≤2时,函数f(|sinx|)的最小值为(a-4)e;
当a>2时,函数f(|sinx|)的最小值为-2e
.(12分)2 a