己知f（x）=Inx-ax2-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），两点，AB中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．
（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2-bx
f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′(x)=+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(+2x)min …（2分）
∵x＞0，+2x≥2 当且仅当x=时取=
∴b≤2
∴b的取值范围为 (-∞，2] …（4分）
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞）
∴f′(x)=-2x+1=-…（6分）
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即
∴函数f（x）只有一个零点 …（8分）
（Ⅲ）由已知得 | | f(x1)=lnx1-a-bx1=0 | | f(x2)=lnx2-a -bx2=0 |
| |
两式相减，得
ln=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)
由f′(x)=-2ax-b及2x0=x1+x2，得
f′(x0)=-2ax0-b=-[a(x1+x2)+b]=-ln
=[-ln]=[- ln]…（10分）
令t=∈（0，1）且∅(t)=-lnt（0＜t＜1）
∴∅′(t)=-＜0
∴∅（t）在（0，1）上递减，∴∅（t）＞∅（1）=0
x1＜x2，f′（x0）＜0（12分）
