对于A，若α∥β，a⊂α，b⊂β，

说明a、b是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；

对于B，若若a⊂α，b⊂β，a∥b，说明在平面α和平面β内各有一条直线相互平行，但是条件并没有指明平面α、β的位置关系，平面α、β也可能相交，故不一定α∥β，故B错；

对于C，若α∩β=a，a∥b，说明直线b∥α或b⊂α或b∥β或b⊂β，再结合线面平行的判定定理，得到b∥α或b∥β，故C正确；

对于D，b若a⊂α，b⊂β，a∩b=P，说明在平面α，β内的两条直线相交于P，只说明P必在平面α和β的交线上，并不能得到α∩β=a或α∩β=b，故D不正确．

故选C．