问题
解答题
在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：cnm=Cnn-m．
（1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．
答案
（1）性质②所对应的组合数的另一个性质是
=C mn+1
+C mn C m-1n
（2）因为
=C mn+1 (n+1)! m!(n+1-m)!
+C mn
=C m-1n
+n! m!(n-m)! n! (m-1)!(n+1-m)!
=
=n![(n+1-m)+m] m!(n+1-m)!
=n!(n+1) m!(n+1-m)! (n+1)! m!(n+1-m)!
所以
=C mn+1
+C mn C m-1n