（1）f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）．（1分）

∵x₁=-1，x₂=2是函数f（x）的两个极值点，

由

-1+2=- 2b 3a -1×2= -a2 3a =- a 3

，

得

a=6 b=-9

，（3分）

（或由f'（-1）=0，f'（2）=0．

∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，

解得a=6，b=-9．）

∴f（x）=6x³-9x²-36x，（4分）

（2）∵x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，

∴f'（x₁）=f'（x₂）=0，

∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，

∵△=4b²+12a³，

∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，

而x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，a＞0，

∴x₁•x₂＜0，

∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- 2b 3a )2-4(- a 3 )

=

4b2 9a2 + 4 3 a

，（6分）

由|x1| +|x2| =2

2

，

得

4b2 9a2 + 4 3 a

=2

2

，

∴b²=3a²（6-a）．（7分）

∵b²≥0，

∴3a²（6-a）≥0，0＜a≤6．（8分）

令h（a）=3a²（6-a），

则h'（a）=-9a²+36a．

0＜a＜4时，h'（a）＞0

∴h（a）在（0，4）内是增函数；

4＜a＜6时，h'（a）＜0，

∴h （a）在（4，6）内是减函数．

∴a=4时，h（a）有极大值为96，

∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，

∴b的最大值是4

6

．…（10分）

（3）∵x₁、x₂是方程f'（x）=0的两根，

f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）

∵x1•x2=-

a

3

，x2=a，

∴x1=-

1

3

，（11分）

∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)=3a(x+

1

3

)(x-a)

∴g（x）=f'（x）-a（x-x₁）

=3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)=3a(x+

1

3

)(x-a-

1

3

)，（12分）

对称轴为x=

a

2

，

∵a＞0，

∴

a

2

∈(-

1

3

，a)=(x1，x2)，

∴[g(x)]min=g(

a

2

)=3a(

a

2

+

1

3

)(

a

2

-a-

1

3

)=-3a(

a

2

+

1

3

)2=-

a(3a+2)2

12

．（15分）