问题
解答题
已知函数f（x）=x3+3ax-1的导函数为f′（x），g（x）=f′（x）-ax-3．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（3）若x•g′（x）+lnx＞0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（1）当a=-2时，f′（x）=3x2-6．令f′（x）=0得x=±
，2
故当x＜-
或x＞2
时f′（x）＞0，f′（x）单调递增；2
当-
＜x＜2
时f′（x）＜0，f（x）单调递减．2
所以函数f′（x）的单调递增区间为（-∞，-
]，[2
，+∞）；单调递减区间为(-2
，2
)；2
（2）因f′（x）=3a2+3a，故g（x）=3x2-ax+3a-3．
令g（x）=h（a）=a（3-x）+3x2-3，要使h（a）＜0对满足-1≤a≤1的一切a成立，
则
，解得0＜x＜h(-1)=3x2+x-6＜0 h(1)=3x2-x＜0
；1 3
0＜x＜
．1 3
（3）因为g（x′）=6x-a，
所以X（6x-a）+lnx＞0
即a＜6x+
=h(x)对一切x≥2恒成立．h′(x) =6+lnx x
=1-lnx x2
，6x2+ 1-lnx x2
令6x2+1-lnx=φ（x），φ′(x)=12x-
．1 x
因为x≥2，所以φ′（x）＞0，
故φ（x）在[2，+∞）单调递增，有φ（x）≥φ（2）=25-ln2＞0．
因此h′（x）＞0，从而h (x)≥h (2)=12+
．ln2 2
所以a＜hmin(x)=h (2)=12+
．ln2 2