问题
解答题
| 已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）． （Ⅰ） 若a＞0，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率是1，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[
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答案
（Ⅰ） f′(x)=
(x＞0)，a(1-x) x
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
（Ⅱ） f′(2)=-
=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3a 2
∴g(x)=x3+(
+2)x2-2x，m 2
∴g'（x）=3x2+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴
，g′(t)＜0 g′(3)＞0
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：
，∴-g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0
＜m＜-9．37 3
∴当m∈（-
，-9）内取值时对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[37 3
+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值．m 2