问题
解答题
函数f(x)=x-
（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图象恒过定点； （2）当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的取值范围； （3）若对任意a∈[m，0）时，函数y=f（x）在定义域上恒单调递增，求m的最小值． |
答案
（1）证明：令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
∴函数y=f（x）图象恒过定点（1，1）． …（2分）
（2）当a=1时，f(x)=x-
，lnx x
∴f′(x)=1-
，即f′(x)=1-lnx x2
，x2+lnx-1 x2
令f'（x）=0，得x=1．
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 极小值 |
∵f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，
∴-2b≥fmin（x），即-2b≥1，
∴实数b的取值范围为(-∞，-
]．…（9分）1 2
（3）f′(x)=1-
，即f′(x)=a-alnx x2
，令h（x）=x2+alnx-a，x2+alnx-a x2
由题意可知，对任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即h（x）=x2+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立．
∵h′(x)=2x+
=a x
，令h'（x）=0，得x=-2x2+a x
（舍）或- a 2
．- a 2
列表如下：
| x | （0，
|
| （
| ||||||||||||
| h'（x） | - | 0 | + | ||||||||||||
| h（x） | ↘ | 极小值 | ↗ |
-
|
-
|
| 3 |
| 2 |
∴m的最小值为-2e3． …（16分）