问题
解答题
设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：对于任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时f（x）取极小值-
（1）f（x）的解析式； （2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直： |
答案
（1）因为，∀x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：f(1)=-
，得 a+c=-2 3
，解之得：a=2 3
，c=-1从而，1 3
函数解析式为：f(x)=
x3-x1 3
（2）由于，f'（x）=x2-1，
设任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，
则这两点的切线的斜率分别是：k1=f'（x1）=x12-1，k2=f'（x2）=x22-1
又因为：-1≤x1≤1，-1≤x2≤1，所以，k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0知：k1k2≠-1
故当x∈[-1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直
