问题
解答题
已知函数f(x)=x4-3x2+6.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.
答案
(Ⅰ)f′(x)=4x3-6x=4x(x+
)(x-6 2
)6 2
令f′(x)>0得-
<x<0或x>6 2
;6 2
令f′(x)<0得x<-
或0<x<6 2 6 2
因此,f(x)在区间(-
,0)和(6 2
,+∞)为增函数;6 2
在区间(-∞,-
)和(0,6 2
)为减函数.6 2
(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),
由l过原点知,l的方程为y=f′(x0)x,
因此f(x0)=f′(x0)x0,即x04-3x02+6-x0(4x03-6x0)=0,
整理得(x02+1)(x02-2)=0,解得x0=-
或x0=2
.2
所以的方程为y=2
x或y=-22
x2