问题 解答题

已知函数f(x)=x4-3x2+6.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.

答案

(Ⅰ)f′(x)=4x3-6x=4x(x+

6
2
)(x-
6
2
)

令f′(x)>0得-

6
2
<x<0或x>
6
2

令f′(x)<0得x<-

6
2
0<x<
6
2

因此,f(x)在区间(-

6
2
,0)和(
6
2
,+∞)
为增函数;

在区间(-∞,-

6
2
)和(0,
6
2
)
为减函数.

(Ⅱ)设点P(x0,f(x0)),

由l过原点知,l的方程为y=f′(x0)x,

因此f(x0)=f′(x0)x0,即x04-3x02+6-x0(4x03-6x0)=0,

整理得(x02+1)(x02-2)=0,解得x0=-

2
x0=
2

所以的方程为y=2

2
x或y=-2
2
x

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题