对于A，∵α∥β，m⊂α，n⊂β，

∴m、n没有公共点，得到m、n平行或异面

故A不正确；

对于B，若平面β满足β∥α，且m、n是平面β内的直线

可得m∥α，n∥α成立，但是m、n可以在β内自由摆放

“m∥n”不一定成立，故B不正确；

对于C，若α∥β，且m⊂β，n⊂α

则有m∥α，n∥β，但是m在β内、n在α内可以自由摆放

所以“m∥n”不一定成立，故C不正确；

对于D，若m⊥α，α∥β，

则m⊥β，再结合n⊥β，可得“m∥n”成立，故D正确．

故选D