（Ⅰ） 由f（1）=2，得a=1…（2分）

∵x＞0，∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等价于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，

令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g′（x）=

lnx

x2

∴x∈（0，1]时，g′（x）≤0

∴g（x）在（0，1]上递减，

在[1，∞）上递增，所以g（x）_min=g（1）=0，

即b≤0…（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上递减，

∴

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即

1+lnx

x

＞

1+lny

y

 …（6分）

而

1

e

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，

∴1+lnx＞0，

∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

；…（9分）

（Ⅲ）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），

令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

设h（x）=

lnx

x

（x＞0），则h′(x)=

1-lnx

x2

令h′(x)=

1-lnx

x2

＞0，则0＜x＜e；令h′(x)=

1-lnx

x2

＜0，可得x＞e

∴当x=e时，h（x）_max=

1

e

，

∴当a≥

1

2e

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增          …（11分）

若0＜a＜

1

2e

，g(x)=2ax-lnx，(x＞0)，g′(x)=2a-

1

x

g′(x)=0，x=

1

2a

，x∈(0，

1

2a

)，g′(x)＜0；x∈(

1

2a

，+∞)，g′(x)＞0，

∴x=

1

2a

时，取得极小值，即最小值．

当0＜a＜

1

2e

时，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，f'（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调…（13分）

∴a≥

1

2e

                                         …（14分）