问题
解答题
已知函数f（x）=x2-ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x2，是否存在负实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
答案
（Ⅰ）当a=1时，由f′（x）=2x-1-
=1 x
=2x2-x-1 x
，(2x+1)(x-1) x
∵函数f（x）=x2+x-lnx的定义域为（0，+∞），
∴当x∈（0，1]时，f′（x）≤0，当x∈[1，+∞）时，f′（x）≥0
∴函数f（x）=x2+x-lnx的单调递减区间为（0，1]，
单调递增区间为[1，+∞）…（4分）
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，3]上是减函数，
则f′（x）=2x-a-
=1 x
≤0在[1，3]上恒成立，2x2-ax-1 x
因为x＞0，令 h（x）=2x2-ax-1，
有
得h(1)≤0 h(3)≤0
，得a≥a≥1 a≥ 17 3
…（8分）17 3
（III）假设存在负实数a，使g（x）=f（x）-x2，即g（x）=-ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，g′（x）=-a-
=-1 x
…（9分）ax+1 x
（1）当0＜-
＜e，即a＜-1 a
时，g（x）在（0，-1 e
）上单调递减，在（1 a
，e]上单调递增1 a
∴g（x）min=g（-
）=1+ln（-a）=2，a=-e，满足条件．…（11分）1 a
（2）当-
≥e，即a≥-1 a
时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上单调递减，1 e
此时g（x）min=g（e）=-ae-1=2，
∴a=-
（舍去），即f（x）无最小值．…（13分）3 e
综上，存在负实数a=-e，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值2．…（14分）