（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

，

令g（x）=2ax²-1，x∈（0，+∞）

（i）当a≤0时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；

（ii）当a＞0时，方程2ax²-1=0有两根x₁=

1 2a

，x₂=-

1 2a

，

且x₁＞0，x₂＜0，此时当x∈（0，

1 2a

）时，f'（x）＜0，

当x∈（

1 2a

，+∞）时，f'（x）＞0，

故f（x）在（0，

1 2a

）为减函数，在（

1 2a

，+∞）为增函数；

所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），

当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（

1 2a

，+∞），递减区间为（0，

1 2a

）．

（2）设切点为M（t，t），t＞0．

则f'（t）=1，且at²-lnt=t，∴t-1+2lnt=0，（*）

由于1-1+2ln1=0，∴方程（*）有解t=1，

令g（t）=t-1+2lnt，

∵g'（t）=1+

2

t

＞0，g（t）在（0，+∞）上是增函数，

∴方程（*）有唯一解t=1，

∴a×1²=1+ln1，

∴a=1．