问题
解答题
设函数f（x）=ax3+bx2-3a2x+1（a，b∈R）在x=x1，x=x2处取得极值，且|x1-x2|=2．
（Ⅰ）若a=1，求b的值，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求b的取值范围．
答案
f'（x）=3ax2+2bx-3a2．①（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=3x2+2bx-3；
由题意知x1，x2为方程3x2+2bx-3=0的两根，所以|x1-x2|=
．4b2+36 3
由|x1-x2|=2，得b=0．（4分）
从而f（x）=x2-3x+1，f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0；当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0．
故f（x）在（-1，1）单调递减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增．（6分）
（Ⅱ）由①式及题意知x1，x2为方程3x2+2bx-3a2=0的两根，
所以|x1-x2|=
．从而|x1-x2|=2⇔b2=9a2（1-a），4b2+36a3 3a
由上式及题设知0＜a≤1．（8分）
考虑g（a）=9a2-9a3，g′(a)=18a-27a2=-27a(a-
)．（10分）2 3
故g（a）在(0，
)单调递增，在(2 3
，1)单调递减，从而g（a）在（0，1]的极大值为g(2 3
)=2 3
．4 3
又g（a）在（0，1]上只有一个极值，所以g(
)=2 3
为g（a）在（0，1]上的最大值，且最小值为g（1）=0．所以b2∈[0，4 3
]，即b的取值范围为[-4 3
，2 3 3
]．（14分）2 3 3