问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点A（1，3），曲线在点A处的切线恰好与直线x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减，求m的取值范围．
答案
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点A（1，3）
∴a+b=3---（1分）
∵f′（x）=3ax2+2bx，
∴f′（1）=3a+2b-------------（2分）
由已知条件知f′（1）•（-
）=-1，1 7
即3a+2b=7-------------（4分）
∴解
得：a+b=3 3a+2b=7
-------------（6分）a=1 b=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x3+2x2，f′（x）=3x2+4x，
令f′（x）=3x2+4x≤0，则-
≤x≤0--------------（8分）4 3
∵函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减，
∴[m-1，m]⊆[-
，0]，4 3
∴
，即-m-1≥- 4 3 m≤0
≤m≤0---------------（12分）1 3