求导函数可得f′（x）=

-ax2+2

(x2+2)2

∵曲线f（x）=

ax

x2+2

在x=1处的切线斜率为

1

9

，

∴

-a+2

(12+2)2

=

1

9

，∴a=1

∴f′（x）=

-x2+2

(x2+2)2

由f′（x）＞0可得(-

2

，

2

)

∵函数f（x）在区间（m，m+1）上为增函数，

∴

m≥- 2 m+1≤ 2

∴-

2

≤m≤

2

-1

∴实数m的取值范围是-

2

≤m≤

2

-1

故答案为：-

2

≤m≤

2

-1