问题
解答题
设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R，e为自然对数的底数，e=2.7182…
（1）如果x=e为函数y=f（x）的极大值点，求a的值；
（2）如果函数f（x）在x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于2e3，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当x∈[e，e2]时，求f（x）的最大值和最小值．
答案
（1）求导得f'（x）=2（x-a）lnx+
=（x-a）（2ln x+1-(x-a)2 x
）．a x
因为x=e是f（x）的极值点，所以f'（e）=(e-a)(3-
)=0，解得a=e或a=3e，经检验，a=3e，符合题意．（要有检验过程）a e
（2）f'（x）=2（x-a）lnx+
，(x-a)2 x
当x=e时，f'（e）=2（e-a）+
，f（e）=（e-a）2lne=（e-a）2，(e-a)2 e
所以曲线y=f（x）在x=e处的切线方程为y-（e-a）2=[2（e-a）+
]（x-e），(e-a)2 e
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（
，0），（0，-2e（e-a）），2e2 3e-a
∴所求面积为
×|1 2
|×|-2e(e-a)|=2e3．2e2 3e-a
解之得，a=2e．
（3）在（2）的条件a=2e下，
f（x）=（x-2e）2lnx，f'（x）=2（x-2e）lnx+
，(x-2e)2 x
对于x∈[e，2e]，有f'（x）＜0，∴f（x）在区间[e，2e]上为减函数．
对于x∈[2e，e2]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[2e，e2]上为增函数．
∴f(x)max=f(e2)=2e2(e-2)2，f(x)min=f(2e)=0．