（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2a x+b．

由题设，∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与x=-

2

3

时，都取得极值．

∴x=1，x=-

2

3

为f′（x）=0的解．

∴-

2

3

a=1-

2

3

，

b

3

=1×（-

2

3

）．

解得a=-

1

2

，b=-2（4分）

此时，f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（x+

2

3

），x=1与x=-

2

3

都是极值点．（5分）

（2）f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+c，由f （-1）=-1-

1

2

+2+c=

3

2

，∴c=1．

∴f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+1．

x	（-∞，- 2 3 ）	（- 2 3 ，1）	（1，+∞）
f′（x）	+	-	+

∴f （x）的递增区间为（-∞，-

2

3

），及（1，+∞），递减区间为（-

2

3

，1）．

当x=-

2

3

时，f （x）有极大值，f （-

2

3

）=

49

27

；

当x=1时，f （x）有极小值，f （1）=-

1

2

（10分）

（3）由（1）得，f′（x）=（x-1）（3x+2），f （x）=x³-

1

2

x²-2 x+c，

f （x）在[-1，-

2

3

）及（1，2]上递增，在（-

2

3

，1）递减．

而f （-

2

3

）=-

8

27

-

2

9

+

4

5

+c=c+

22

27

，f （2）=8-2-4+c=c+2．

∴f （x）在[-1，2]上的最大值为c+2．

∴c+2＜

3

c

∴

c2+2c-3

c

＜0

∴

c＞0 c2+2c-3＜0

或

c＜0 c2+2c-3＞0

∴0＜c＜1或c＜-3（16分）