问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax-2lnx，a∈R （Ⅰ）求函数f（x）的极值； （Ⅱ）对于曲线上的不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲线上的点Q（x0，y0），且x1＜x0＜x2，使得曲线在点Q处的切线l∥P1P2，则称l为弦P1P2的伴随切线．当a=2时，已知两点A（1，f（1）），B（e，f（e）），试求弦AB的伴随切线l的方程； （Ⅲ）设g(x)=
|
答案
（I）f′(x)=a-
，x＞0．2 x
当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，∴函数f（x）没有极值．
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=
．2 a
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：
| x | (0，
|
| (
| ||||||
| f'（x） | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
综上，当a≤0时，f（x）没有极值；
当a＞0时，f（x）的极小值为2-2ln
，没有极小值．2 a
（Ⅱ）当a=2时，设切点Q（x0，y0），则切线l的斜率为f′(x0)=2-
，x0∈(1，e)．2 x0
弦AB的斜率为kAB=
=f(e)-f(1) e-1
=2-2(e-1)-2(1-0) e-1
．2 e-1
由已知得，l∥AB，则2-
=2-2 x0
，解得x0=e-1，2 e-1
所以，弦AB的伴随切线l的方程为：y=
x+2-2ln(e-1)．2e-4 e-1
（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-
，F'（x）=a-a+2e x
+2 x
=a+2e x2
=ax2-2x+a+2e x2
＞0，ax2+a+2(e-x) x2
所以F（x）为增函数，F（x）max=F（e）．
依题意需F（e）＞0，解得a＞
．4e e2-1
所以a的取值范围是(
，+∞)．4e e2-1