若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或在平面内

对于A，α内的所有直线与直线a异面，也可能相交，故不成立；

对于B，α内不存在与a平行的直线，当a在平面α内就存在与a平行的直线，故不成立；

对于C，直线a与平面α有公共点，当直线a与平面α相交与在平面内都有公共点，故成立；

对于D，α内的直线均与a相交，也可能异面；故不成立

故选C．