（Ⅰ）由x+1＞0，得：f（x）定义域为（-1，+∞）…（2分）f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，x∈（-1，+∞）…（4分）

由f′(x)=

2x(x+2)

x+1

＞0，x+1＞0得x＞0…（6分）

所以f（x）递增区间是[0，+∞）…（7分）

（Ⅱ）由f'（x）＜0，x+1＞0，得-1＜x＜0．所以f（x）递减区间是（-1，0）．…（9分）

∴f（x）在[

1

e

-1，0)上递减，在[0，e-1]上递增．…（11分）

又f（

1

e

-1）=

1

e 2

+2，f（e-1）=e²-2，

且e²-2＞

1

e 2

+2．

∴当x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2…（14分）