已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴

问题解答题

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．

（1）求实数C的值；

（2）在函数f（x）的图象上是否存在点M（x₀，y₀），使f（x）在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；不存在说明理由．

答案

（1）由已知得f'（x）=3ax²+2bx+c因为f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，

所以x=0是f（x）的一个极值点∴f'（0）=0∴c=0（4分）

（2）∵c=0，∴f'（x）=3ax²+2bx

令f′(x)=0得3ax2+2bx=0，解得x1=0，x2=-

因为f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反单调性，

所以2≤-

≤4即有-6≤

≤-3(8分)

假设存在点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b，则f'（x₀）=3b即3a

+2bx0-3b=0所以△=4ab(

+9)

∵-6≤

≤-3∴ab＜0，

+9＞0，∴△＜0，x0无解

故不存在点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b（12分）