（1）当m=1时，f(x)=

1

3

x3+x2-3x+1，

又f'（x）=x²+2x-3，所以f'（2）=5．

又f(2)=

5

3

，

所以所求切线方程为 y-

5

3

=5(x-2)，即15x-3y-25=0．

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为15x-3y-25=0．…（6分）

（2）因为f'（x）=x²+2mx-3m²，

令f'（x）=0，得x=-3m或x=m．…（8分）

当m=0时，f'（x）=x²≥0恒成立，不符合题意．…（9分）

当m＞0时，f（x）的单调递减区间是（-3m，m），若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，

则

-3m≤-2 m≥3.

解得m≥3．…（11分）

当m＜0时，f（x）的单调递减区间是（m，-3m），若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，

则

m≤-2 -3m≥3.

，解得m≤-2．

综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤-2．…（13分）