问题
解答题
已知函数f（x）=x2+2x+alnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．
答案
（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f（x）=x2+2x+alnx
∴f′(x)=
（x＞0），2x2+2x+a x
设g（x）=2x2+2x+a，则g（x）=(x+
)2-1 2
+a，1 2
∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调增函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤-4}．
（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1）
∴2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t2）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t2≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可
即g′(x)=2-
≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2a x
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
