问题 解答题

设函数f(x)=ex-ax-2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值.

答案

(I)函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f′(x)=ex-a,

若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,所以函数f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上单调递增.

若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0;所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.

(II)由于a=1,所以,(x-k) f´(x)+x+1=(x-k) (ex-1)+x+1

故当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0等价于k<

x+1
ex-1
+x(x>0)①

令g(x)=

x+1
ex-1
+x,则g′(x)=
-xex-1
(ex-1)2
+1=
ex(ex-x-2)
(ex-1)2

由(I)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增,而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则有α∈(1,2)

当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)

由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2

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