已知函数f(x)=mx-m-1x-lnx(m∈R)，g(x)=1x+lnx．（I

问题解答题

已知函数f(x)=mx-

m-1

-lnx(m∈R)，g(x)=

+lnx．
（I）求g（x）的极小值；
（II）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数，求m的取值范围；
（III）设h(x)=

，若在[1，e]（e是自然对数的底数）上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意，x＞0，g′（x）=

x-1

，

∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，

所以，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故g（x）_极小值=g（1）=1． …（4分）

（Ⅱ）∵y=f（x）-g（x）=mx-

-2lnx，

∴y′=

mx2-2x+m

，

由于f（x）-g（x）在[1，+∞）内为单调增函数，

所以mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≥

1+x2

在[1，+∞）上恒成立，

∵（

1+x2

）_max=1，

∴m的取值范围是[1，+∞）． …（8分）

（III）当x=1时，f（1）-g（1）＜h（1）．

当x∈（1，e]时，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞

2e+2xlnx

x2-1

，令G（x）=

2e+2xlnx

x2-1

，

则G′（x）=

(-2x2-2)lnx+(2x2-4ex-2)

(x2-1)2

＜0，

所以G（x）在（1，e]上递减，G（x）_min=G（e）=

e2-1

．

综上，要在[1，e]上存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，必须且只需m＞

e2-1

．